Próton Relativístico – Raios Cósmicos


O problema sugerido a seguir é um bom exemplo ilustrativo que nos ajuda a pensar num tema que tem sido bastante recorrente de uns anos para cá, e cada vez mais pertinente. Viajens espaciais.

O homem deu o pontapé para a exploração espacial há cerca de 60 anos com o lançamento de satélites e posteriormente de veículos tripulados.

Viagens espaciais tem um alto custo que está associado também ao tempo de viagem. Assim quanto maior a velocidade de um veículo espacial, menos tempo ele levará para alcançar seu destino.

Além das limitações tecnológicas atuais, a teoria da relatividade prevê uma impossibilidade natural para o aumento de velocidade de um corpo quando esse corpo se aproxima da velocidade da luz. Sabemos que a energia e portanto a força que deve ser usada para acelerar tal corpo, depende do fator de Lorentz.

Vajamos então um problema prático que nos permite pensar nesses aspectos e em outros.

O próton de maior energia detectado até hoje nos raios cósmicos possuía a espantosa energia cinética de 3 \cdot 10^{20} eV (energia suficiente para elevar em alguns graus Celsius uma colher de chá de água).

(a) Determine o fator de Lorentz \gamma e a velocidade vda partícula em relação à Terra.

Como sabemos a energia cinética do próton, vamos olhar para a relação dela com o fator de Lorentz

Como vimos

    \[E_{cin} = \frac{mc^{2}}{\sqrt{1-\frac{u^{2}}{c^{2}}}} - mc^{2}=\gamma mc^{2} - mc^{2}\]

Isolando \ gamma

    \[ \gamma = \frac{E_{cin}}{mc^{2}}+1\]

Substituindo pelos valores

    \[ E_{cin} = 3,0\cdot 10^{20}\ ev,\ \fn_cm \large E_{Repouso} = 938 MeV\]

    

    \[\gamma =\frac{3,0\cdot 10^{20}\ eV}{938\ MeV}+1\]

    \[ \gamma \approx 3,2\cdot 10^{11} \ (Resposta)\]

Se com esse resultado tentarmos obter analiticamente o valor da velocidade vamos ter um problema, pois para um fator de Lorentz tão grande o termo \beta = 1, e portanto chegaremos em v = c. Contudo queremos um valor mais preciso para v, e para isso vamos usar de um pequeno artifício matemático extraindo o valor de (1-\beta) da expressão \gamma.

    \[ \large \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}=\frac{1}{\sqrt{1-\beta ^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{(1-\beta )\cdot (1+\beta )}}\]

O termo (1+\beta) pode ser arredondado para 2, porém não podemos arredondar a diferença entre dois números.

Assim,

    \[ \gamma \approx \frac{1}{\sqrt{2(1-\beta) }}\]

Elevando os dois lados da equação ao quadrado

    \[ (1-\beta ) = \frac{1}{2\gamma ^{2}} = \frac{1}{2(3,198\cdot 10^{11})^{2}} = 4,9\cdot 10^{-24} \approx 5\cdot 10^{-24}\]

    \[ \beta = 1 - 5\cdot 10^{-24}\]

Como v = \beta \cdot c

O valor de v é um número muito próximo de c, mas ainda menor

    \[ \beta = 1 - 5\cdot 10^{-24}\]

Esse resultado está de acordo com o que estudamos até agora em relação à energia e a velocidade de um objeto. Possuindo ele massa de repouso diferente de zero, será preciso cada vez mais energia para que o próton ganhe mais velocidade. Como vimos, existe uma impossibilidade de se atingir a velocidade da luz por conta da energia que ele precisaria para tal.

Seguindo com nosso problema, o próximo item nos faz observar o tempo de deslocamento em dois referenciais distintos, o da Terra e o do próton ultra-relativístico.

(b) Suponha que o próton tenha percorrido uma distância igual ao diâmetro da Via Láctea (9,8 \cdot 10^{4} anos-luz). Quanto tempo o próton levou para cobrir essa distância do ponto de vista do observador terrestre?

Como o próton viaja com uma velocidade extremamente próxima da velocidade da Luz, ele leva um tempo medido pelo observador terrestre praticamente igual, portanto

    \[ \Delta t = 9,8\times 10^{4} anos\]

(c) Quanto tempo leva essa travessia a partir do referencial do próton?

Sabemos que o tempo medido no referencial do próton deve ser diferente, e para calcularmos utilizaremos a expressão que relaciona o tempo nos dois referenciais

    \[\Delta t = \frac{\Delta t_{p}}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} = \gamma \Delta t_{p}\]

    \[ \Delta t_{p} = \frac{\Delta _{t}}{\gamma = \fn_cm \large \frac{9,8\times 10^{4} anos}{3,198\times 10^{11}} = 3,06\times 10^{-7} anos }\]

 

Multiplicando o tempo em anos, pela quantidade de segundos de um ano, obtemos

    \[ \Delta t_{p}= 9,7 \ segundos\]

Um resultado espantoso que mostra de maneira extrema a diferença da passagem do tempo em dois referenciais distintos.

No início da página falamos sobre viagens espaciais. Com o resultado que obtivemos já podemos atribuir mais uma variável ao assunto. Se em algum momento da história futura da humanidade o homem for capaz de viajar próximo à velocidade da luz, uma viagem até outras galáxias poderia durar alguns anos ou ainda alguns meses no referencial do viajante. Assim viajar por um espaço tão vasto como o nosso levaria muito tempo quando visto do nosso referencial. Para aqueles que viajam bastante rápido, o efeito prático visualizado por eles seria a contração do espaço pelo qual viajam, o que causaria uma diminuição no tempo de viagem.