Equações de Maxwell e a Velocidade da Luz

As Equações de Maxwell

No final do século XIX, James Clerk Maxwell concebeu um conjunto de quatro equações relacionadas aos campo elétrico (\vec{E}) e ao campo magnético (\vec{B}). A descrição envolvecargas elétricas e correntes elétricas (cargas se movendo), juntamente com a chamada força de Lorentz, que para uma carga puntiforme q vale

    \[ \vec{F} = q \vec{E} + q \vec{v} \times \vec{B} \]

conseguem descrever todos os fenômenos eletromagnéticos até então observados.

Na verdade, para ser mais preciso, com exceção de uma equação que Maxwell de fato contribui para a sua formulação, três delas já eram bem conhecidas na sua época. São elas a lei de Gauss (da eletricidade e do magnetismo) e a lei de indução de Faraday.

De qualquer forma, isso de forma alguma tira os méritos de Maxwell, já que ao identificá-los como as equações fundamentais e que após uma manipulação algébrica, descobriu que campos magnético e elétrico podem se propagar de forma muito parecida a uma onda mecânica (o som, por exemplo); chamamos essa propagação de onda eletromagnética, onde a luz é um caso particular dessa onda.

É importante ressaltar que no século XIX, antes dos estudos Maxwell, a natureza da luz não era perfeitamente compreendida. Hoje em dia, dizer que a luz é um tipo de onda eletromagnética só é possível graças a essa compreensão provida pelas equações de Maxwell.

As equações de Maxwell são apresentadas a seguir e para uma compreensão completa delas, são necessários estudos mais aprofundados em cálculo diferencial e integral, o que é facultativo ao leitor, haja vista que o foco desse tratamento são os resultados obtidos através dessas equações.

    \[(I)\ \nabla\times \vec{B} = \mu _{0}j + \varepsilon _{0}\mu _{0}{}\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\]

    \[(II)\ \nabla\times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\]

    \[(III)\nabla\cdot \vec{E} = \frac{\rho }{\varepsilon _{0}}\]

    \[(IV)\nabla\cdot \vec{B} = 0\]

As equações apresentam-se em sua forma diferencial, podendo ser escritas também na forma integral.

O vídeo a seguir é sugerido como material complementar ao assunto, no qual é discutido o conceito de divergente e rotacional. Esses conceitos serão abordados adiante quando da discussão das Equações de Maxwell.

As equações de Maxwell produzem dentre outras conclusões, um valor para a velocidade de propagação da luz. A dedução matemática a seguir mostra como obter tal resultado a partir das equações propostas e de suas soluções.

Para a obtenção das soluções dessas equações, serão definidas o que se chamam condições iniciais.

  • A equações serão aplicadas a regiões do espaço desprovidas de carga elétrica e de corrente elétrica. O objetivo é encontrar um conjunto de soluções para as equações de Maxwell que independam de tais grandezas.
  • Fica estabelecido que tais soluções dependam de apenas uma coordenada espacial e do tempo. 

O objetivo é encontrar um conjunto de soluções para as equações de Maxwell que independam da carga elétrica e que essa solução seja a mais simples possível, sem deixar de lado qualquer informação relevante.

A resolução pode ser acessada através do botão abaixo, sendo facultativo o grau de aprofundamento, haja vista que os resultados encontram-se discutidos ao final da explicação.

Antes de partir para a resolução matemática é possível ainda acessando a página Eletromagnetismo, revisitar conceitos bastante familiares dos alunos de ensino médio.

Aplicando as definições iniciais e reescrevendo as equações de Maxwell, tem-se

    \[(I)\ \nabla\times \vec{B} =\varepsilon _{0}\mu _{0}{}\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\]

    \[(II)\ \nabla\times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\]

    \[(III)\nabla\cdot \vec{E} = 0\]

    \[(IV)\nabla\cdot \vec{B} = 0\]


Assim, escrevendo para funções que dependam apenas das duas variáveis, o tempo t e a coordenada z, tem-se

    \[\vec{E\left ( z,t \right )}\ \ \ \ \ \ ;\ \ \ \ \ \ \vec{B}(z,t)\]

Definindo primeiramente o gradiente, tem-se

    \[\nabla\left ( x,y,z \right ) = \frac{\partial }{\partial x}+\frac{\partial }{\partial y}+\frac{\partial }{\partial z}\]


Aplicando a um vetor \vec{v} qualquer, obtem-se

    \[\nabla\cdot \vec{v} = \frac{\partial {v_{x}} }{\partial x}+\frac{\partial {v_{y}} }{\partial y}+\frac{\partial {v_{z}} }{\partial z}\]


Que é o produto escalar

De outra forma, definindo o produto vetorial

    \[\nabla\times \vec{v}=\begin{vmatrix} &\hat{x}\ \ \ \hat{y}\ \ \ \hat{z} & \\ &\frac{\partial }{\partial x}\ \ \frac{\partial }{\partial y}\ \ \frac{\partial }{\partial z} & \\ &\vec{v}_{x}\ \ \vec{v}_{y}\ \ \vec{v}_{z} & \end{vmatrix}\]

Aplicando às equações de Maxwell e estabelecendo as condições, ontem-se para cada transformação

    \[\nabla\cdot \vec{v} = 0+0+\frac{\partial{v_{z}} }{\partial z} =\frac{\partial v_{z} }{\partial z}\]

E ainda

    \[\nabla\times \vec{v}=\begin{vmatrix} &\hat{x}\ \ \ \hat{y}\ \ \ \hat{z} & \\ & 0 \ \ \ 0 \ \ \ \frac{\partial }{\partial z} & \\ &\vec{v}_{x}\ \ \vec{v}_{y}\ \ \vec{v}_{z} & \end{vmatrix} = -\hat{x}\frac{\partial v_{y}}{\partial z} + \hat{y}\frac{\partial v_{x}}{\partial z}\]

Aplicando as definições calculadas acima nas equações de Maxwell,

    \[\left ( I \right )\ -\hat{x}\frac{\partial B_{y}}{\partial z} + \hat{y}\frac{\partial B_{x}}{\partial z} = \mu _0\varepsilon _0\left ( \frac{\partial E_x}{\partial t}\hat{x}+\frac{\partial E_y}{\partial t}\hat{y} +\frac{\partial E_z}{\partial t}\hat{z}\right )\]

    \[\left ( II \right )\ -\hat{x}\frac{\partial E_{y}}{\partial z} + \hat{y}\frac{\partial E_{x}}{\partial z} = \left ( -\frac{\partial B_x}{\partial t}\hat{x}-\frac{\partial B_y}{\partial t}\hat{y} -\frac{\partial B_z}{\partial t}\hat{z}\right )\]

    \[\left ( III \right )\frac{\partial E_z }{\partial z} = 0\]

    \[\left ( IV \right )\frac{\partial B_z }{\partial z} = 0\]

Algumas conclusões decorrem a partir das soluções das equações

    \[\frac{\partial E_z }{\partial z} = \frac{\partial E_z}{\partial t} = \frac{\partial B_z }{\partial z} =\frac{\partial Bz}{\partial t}=0\]

A diferenciais em relação à variável z dão como resposta um valor nulo, isso implica num valor para E_{z} e B_{z} constantes, o que equivale a um campo elétrico uniforme e a uma campo magnético estático.

As soluções desejadas não são aquelas associadas a campos estáticos, assim fica estabelecido que os campos na coordenada z valem zero

    \[E_{z} = B_{z} = 0\]


Assim, associando os termos respectivos das equações entre si, obtém-se

    \[\left ( I \right )\ { -\hat{x}\frac{\partial B_{y}}{\partial z}} + \hat{y}\frac{\partial B_{x}}{\partial z} ={\mu _0\varepsilon _0}\left ( { \frac{\partial E_x}{\partial t}\hat{x}}+\frac{\partial E_y}{\partial t}\hat{y} +\frac{\partial E_z}{\partial t}\hat{z}\right )\]


Resultando

    \[{ \frac{\partial B_{y}}{\partial z}} ={ -\mu _0\varepsilon _0}\left ( { \frac{\partial E_x}{\partial t}}\right )\]

E ainda

    \[\left ( II \right ) -\hat{x}\frac{\partial E_{y}}{\partial z} + { \hat{y}\frac{\partial E_{x}}{\partial z}} = \left ( -\frac{\partial B_x}{\partial t}\hat{x}{ -\frac{\partial B_y}{\partial t}\hat{y}} -\frac{\partial B_z}{\partial t}\hat{z}\right )\]


Que resulta em

    \[{ \frac{\partial E_{x}}{\partial z}} = \left ( { -\frac{\partial B_y}{\partial t}} \right )\]


As duas equações destacadas constituem um sistema, de modo que

    \[\begin{bmatrix}{ \frac{\partial B_{y}}{\partial z}} ={ -\mu _0\varepsilon _0}\left ( { \frac{\partial E_x}{\partial t}}\right ) \\ { \frac{\partial E_{x}}{\partial z}} = \left ( { -\frac{\partial B_y}{\partial t}} \right )\end{bmatrix}\]

Do mesmo modo, as outras equações podem ser obtidas a partir de (I) e (II)

    \[\left ( I \right )\ -\hat{x}\frac{\partial B_{y}}{\partial z} + { \hat{y}\frac{\partial B_{x}}{\partial z} }= { \mu _0\varepsilon _0}\left ( \frac{\partial E_x}{\partial t}\hat{x}+{ \frac{\partial E_y}{\partial t}\hat{y}} +\frac{\partial E_z}{\partial t}\hat{z}\right )\]

    \[{ \hat{y}\frac{\partial B_{x}}{\partial z} }= {\mu _0\varepsilon _0}\left ( {\frac{\partial E_y}{\partial t}} \right )\]

    \[\left ( II \right )\ { -\hat{x}\frac{\partial E_{y}}{\partial z}} + \hat{y}\frac{\partial E_{x}}{\partial z} = \left ( { -\frac{\partial B_x}{\partial t}\hat{x}}-\frac{\partial B_y}{\partial t}\hat{y} -\frac{\partial B_z}{\partial t}\hat{z}\right )\]

 

    \[{ \frac{\partial E_{y}}{\partial z}} = \left ( { \frac{\partial B_x}{\partial t}} \right )\]

 

O que também leva a outro sistema de equações

    \[\begin{bmatrix}{ \frac{\partial B_{x}}{\partial z} }= \mu _0\varepsilon _0\left ( { \frac{\partial E_y}{\partial t}} \right ) \\ { \frac{\partial E_{y}}{\partial z}} = \left ( { \frac{\partial B_x}{\partial t}} \right )\end{bmatrix}\]

Os dois sistemas são independentes, sendo que no primeiro tem-se o par (E_x,B_y) e o segundo no par(B_x,E_Y).

Observe ainda que o primeiro e o segundo conjunto tem em comum a forma, de modo que existe diferença apenas quanto às suas variáveis. Resolvendo um dos sistemas, basta adequar a resolução às respectivas variáveis.

Assim, utilizando o primeiro sistema de equações

    \[\begin{bmatrix}{ \frac{\partial B_{y}}{\partial z}} ={ -\mu _0\varepsilon _0}\left ( \frac{\partial E_x}{\partial t}}\right ) \\ { \frac{\partial E_{x}}{\partial z}} = \left ( { -\frac{\partial B_y}{\partial t}} \right )\end{bmatrix}\]

Aplica-se uma técnica de resolução onde, tomando a derivada parcial da primeira equação em relação a z e da segunda equação com respeito a t, obtém-se

    \[\frac{\partial^2 B_y}{\partial z^2} = -\mu_0 \varepsilon_0\frac{\partial^2 E_x}{\partial z \partial t}\]

    \[\frac{\partial^2 E_x}{\partial z\partial t} = - \frac{\partial^2 B_y}{\partial t^2}\]

    \[\left.\begin{matrix}\ \ \ \ \ \ \frac{\partial^2 B_y}{\partial z^2} = -\mu_0 \varepsilon_0\frac{\partial^2 E_x}{\partial z \partial t} \\ \frac{\partial^2 E_x}{\partial z\partial t} = - \frac{\partial^2 B_y}{\partial t^2} \end{matrix}\right\} \rightarrow \frac{\partial^2 B_y}{\partial z^2}-\mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 B_y}{\partial t^2} = 0\]

Em seguida será tomada a derivada parcial da 1ª com respeito a t, e a 2ª derivada parcial com respeito a z, o que leva ao resultado abaixo indicado

    \[\frac{\partial^2 B_y}{\partial z\partial t} = -\mu_0 \varepsilon_0\frac{\partial^2 E_x}{\partial t^{2}}\]

 

    \[\frac{\partial^2 E_x}{\partial z^{2}} = - \frac{\partial^2 B_y}{\partial z\partial t}\]

 

    \[\left.\begin{matrix}\ \ \ \ \ \ \frac{\partial^2 B_y}{\partial z\partial t} = -\mu_0 \varepsilon_0\frac{\partial^2 E_x}{\partial t^{2}} \\ \frac{\partial^2 E_x}{\partial z^{2}} = - \frac{\partial^2 B_y}{\partial z\partial t} \end{matrix}\right\} \rightarrow \frac{\partial^2 E_x}{\partial z^2}-\mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 E_x}{\partial t^2} = 0\]

As duas equações obtidas são chamadas de equações diferenciais. Suas soluções podem não parecer claras numa primeira olhada, contudo, essas equações tem papel fundamental na resolução de problemas e modelos complexos.

As funções obtidas estão relacionadas entre si de modo que suas soluções são bem conhecidas. A solução para as duas equações é uma função de onda. Uma explicação mais completa sobre funções de onda, pode ser encontrada no livro Física Básica 2, Sec. 5.2, do físico e professor H. Moysés Nussenzveig.

Aqui fica limitado apenas à apresentação da função de onda que é solução das equações obtidas com a resolução do sistema.

É também solução para o conjunto de equações escritas em função de E_y e B_y.

    \[\frac{\partial^2 f}{\partial z^2}-\frac{1}{v^{2}}\frac{\partial^2 f}{\partial t^2} = 0\]

Que é uma equação fundamental da Física.


Esse resultado é particularmente interessante. Obtido através das equações de Maxwell é um termo oriundo de sua resolução presente na definição de uma função de onda. Trata-se de \left ( \frac{1}{v^{2}} \right ), e que será substituído na equação obtida para a onda eletromagnética.

    \[\left ( \frac{1}{v^{2}} \right ) = \mu _0\varepsilon _o\rightarrow v = \frac{1}{\sqrt{\mu _0\varepsilon _o}}\]

Substituindo os valores tabelados para as constantes eletromagnéticas, tem-se

    \[\varepsilon _0 \cong \frac{10^{-9}}{4\pi \cdot 8,98755}\ \frac{F}{m}\]

    \[\mu _0 = 4\pi \cdot 10^{-7}\ \frac{H}{m}\]

    \[v = \frac{1}{\sqrt{\mu _0\varepsilon _o}} \cong 2,99792\cdot 10^{8}\ m/s\]

Que é a velocidade de propagação da luz no vácuo, a constante c.

Esse resultado é obtido utilizando-se para seu cálculo o valor de duas constantes obtidas experimentalmente e de origem eletromagnética. A velocidade de propagação da luz estava finalmente ligada à natureza dos campos eletromagnéticos, sendo descrita por Maxwell a partir de então como uma onda ou ainda, radiação eletromagnética.

Os estudos teóricos de Maxwell o levaram a um modelo para a propagação da luz que se encaixava com os resultados experimentais de grandezas até então desconectadas, a luz e o eletromagnetismo. A luz e as radiações eletromagnéticas estavam agora associadas a existência de campos eletromagnéticos no espaço. Maxwell deixava sua contribuição fundamental para a ciência, explicando a natureza de um fenômeno que intrigou filósofos e cientistas por séculos.

Algo notável nesse resultado obtido através das equações de Maxwell é o fato de que esse valor de velocidade calculado para a luz, não aparece associado a nenhum tipo de referencial. Sabe-se que a velocidade para ser medida é uma grandeza que depende da adoção de um referencial.

Além disso, a característica ondulatória da radiação eletromagnética exigia como requisito a existência de um meio de propagação, que era necessário para explicar até então o comportamento de qualquer onda conhecida.

Essa discussão permeou a ciência por mais alguns anos, até que a correta interpretação dos resultados foi plenamente compreendida. A explicação passou pela busca da existência de um meio que permitisse a propagação dessas ondas, que já era conhecido pelo nome de Éter, bem como pela ideia de um referencial absoluto.

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