A Mecânica Newtoniana – Relatividade Restrita

Nascido no dia 25 de dezembro de 1642, mesmo ano da morte de Galileu, Isaac Newton é considerado um dos maiores cientistas da história da humanidade.

Seu trabalho compreendeu inúmeras áreas do conhecimento científico das quais se pode citar a óptica geométrica, o movimento dos corpos e o desenvolvimento do cálculo diferencial e integral.

Newton é mais famoso pelo estudo envolvendo o movimento dos corpos. É dele a famosa Lei da Gravitação Universal, que caracteriza a interação entre os corpos celestes como uma força que é proporcional às massas dos corpos, e decai com o quadrado do aumento da distância.

Em seu célebre trabalho, Os Princípios Matemáticos da Filosofia Natural (em latim: Philosophiae naturalis principia mathematica), Newton enuncia e conceitua os três princípios do movimento, que são leis fundamentais para explicar o movimento dos corpos. Esses princípios são também referidos como as três leis de Newton.

Primeira Lei de Newton

Enunciado da primeira lei de Newton:

Um corpo tende a manter seu estado de repouso ou de movimento retilíneo uniforme quando livre da ação de forças, ou quando as forças que agem sobre tal corpo, produzam uma resultante de forças nula.

Também conhecida como a lei da inércia, essa lei define o referencial inercial, já discutido por Galileu. Um referencial inercial é aquele em que a primeira lei de Newton é válida.

No exemplo do arranque da picape, a caixa sofreu aceleração e portanto nessa situação, o veículo não é um referencial inercial.

Alterar o estado de movimento de um corpo demanda a aplicação de uma ou mais forças, cuja resultante é não nula, que produzirão efeito sobre o corpo. Caso contrário, o corpo permanece em repouso ou executa um movimento retilíneo uniforme (MRU):

Matematicamente

$\sum_{i=1}^n \vec{F}_n = 0 \iff \vec{v} = \textrm{ constante}$

onde $\vec{v}$ é o vetor velocidade do corpo. Se $\vec{v} =$ constante, significa que o módulo, direção e o sentido da velocidade não mudam.

Na página A Relatividade de Galileu, tanto o trem se movendo com velocidade constante, assim como a superfície da Terra, podem ser considerados referenciais inerciais.

O que ocorre quando um corpo é sujeito a uma força ou uma somatória de forças não nula? Para esta situação, Newton enunciou a sua segunda lei, também conhecida como princípio fundamental da dinâmica.

Segunda Lei de Newton

A versão mais familiar da segunda lei de Newton diz que

Para todo corpo sujeito a uma força, ou a um conjunto de forças cuja soma seja diferente de zero, estará este sujeito a uma aceleração proporcional a essa força e inversamente proporcional à sua massa.

A sua formulação matemática é dada por

$\sum_{i=1}^n \vec{F}_i = m \vec{a}$

onde $\vec{a}$ é o vetor aceleração do corpo de massa $m$ . É importante destacar que esta lei só tem validade num referencial inercial.

Ingenuamente, pode-se pensar que a segunda lei de Newton é um caso mais abrangente da primeira lei; se a força resultante for nula, $\vec{a}=0$ e portanto $\vec{v}$ é constante, recaindo na Lei da Inércia. No entanto, é preciso lembrar que a primeira Lei de Newton é aquela que define o referencial inercial, portanto não se trata de um caso particular da segunda lei, como muitos acreditam.

Outro fato interessante, e que decorre da segunda lei de Newton, é que ela não é específica quanto ao tipo do força envolvido na interação. A expressão da segunda lei funciona como um caso geral, e que pode ser aplicado às forças de qualquer natureza. Qualquer que seja o tipo de força de interação, o efeito produzirá sobre este, uma aceleração.

A inércia de um corpo pode ser entendida como uma resistência oferecida pelo corpo ao movimento. Isso leva ao conceito de massa inercial, que é uma característica da partícula. A massa inercial de um corpo pode ser entendida como o efeito de uma força em produzir aceleração.

No trabalho original de Newton, ele não faz menção à massa do corpo. De acordo com a notação moderna, a versão original da segunda lei de Newton afirma que

A taxa de mudança do momento (linear) de um corpo é diretamente proporcional à força resultante agindo sobre ele, e a direção da mudança do momento ocorre na direção da força resultante.

Aqui o que chamamos de momento linear é comumente conhecido como quantidade de movimento nos livros do Ensino Médio. Conforme afirma a segunda lei, trata-se de uma grandeza vetorial.

A taxa de variação do momento $\vec{p}$ significa, matematicamente $\Delta \vec{p}/\Delta t$ . Para uma variação instantânea, essa taxa é identificada como sendo a derivada do momento em relação ao tempo, ou $d\vec{p}/dt$ . Logo, a segunda lei fica

$\sum_{i=1}^n \vec{F}_i = \frac{d \vec{p}}{dt}$

Para o leitor curioso em conhecer os aspectos básicos do cálculo diferencial e integral, recomendamos o site XXX.

Para um corpo de massa $m$ constante, tem-se que

$\sum_{i=1}^n \vec{F}_i = \frac{d(m\vec{v})}{dt} = m \frac{d\vec{v}}{dt} = m \vec{a}$

onde identificamos a derivada temporal do vetor velocidade como sendo a aceleração instantânea. No caso de massa constante, a forma original equivale à forma mais conhecida pelo estudante do Ensino Médio: $\sum_i \vec{F}_i = m\vec{a}$ .

No estudo do movimento de foguetes, por exemplo, onde a massa (boa parte constituída de combustível) varia, deve-se usar a forma original da segunda lei de Newton.

Terceira Lei de Newton

Conforme visto, a primeira lei permite definir os referenciais inerciais. Uma vez nesse tipo de referencial, a segunda lei diz o que ocorre a um corpo se este está sujeito a ação de uma ou mais forças.

Com essas duas leis, em princípio é possível descrever o movimento de um único corpo, mas nada diz sobre a interação entre dois ou mais corpos. Isto quer dizer que, não conseguimos até aqui descrever o que ocorre quando dois corpos se colidem ou sofram interação mútua.

Disponível em : https://gifsdefisica.wordpress.com/gifs-de-mecanica/

A interação mútua entre os corpos é descrita pela terceira lei de Newton, cujo enunciado diz que:

Quando um corpo exerce uma força sobre um segundo corpo, o segundo corpo exerce simultaneamente uma força de mesma magnitude e direção, mas de sentido contrário, sobre o primeiro corpo.

Essa lei também é conhecida como a lei da ação e reação.

É importante lembrar que a magnitude das forças é idêntica, mas as forças estão aplicadas em corpos diferentes. Sejam dois corpos, $A$ e $B$ . Denotamos a força de $A$ sobre $B$ como sendo $\vec{F}_{AB}$ e a força de $B$ sobre $A$ como sendo $\vec{F}_{BA}$ . De acordo com a terceira lei,

$\vec{F}_{AB} = - \vec{F}_{BA} \quad \Rightarrow \quad \vec{F}_{AB} + \vec{F}_{BA} =0$

Temos que a força total resultante é zero, mas isso não quer dizer que cada corpo não sinta a força aplicada pelo outro. Se você for socar a parede, a parede “sente” a sua força e imediatamente ela aplica uma força sobre o seu punho. Quanto mais forte você bate (ação), maior será essa força resposta (reação). A força resultante é nula, mas certamente sairá com a mão muito machucada!

Vamos ver agora o que diz a terceira lei de Newton quando dois corpos que interagem mutuamente estiverem isolados. Define-se como sendo isolado um sistema físico cujas forças de interação são apenas forças internas ao sistema.

Vamos imagina duas pequenas esferas carregadas, com cargas $q_1$ e $q_2$ positivas, separadas por uma distância $r$ . Se as esferas estiverem livres, ocorrerá um movimento similar ao caso dos patinadores que se empurram. A diferença, neste caso, é que as forças internas são de Natureza eletrostática: são forças de Coulomb. Em módulo

$|\vec{F}_{12}| = |\vec{F}_{21}| = k \frac{q_1 q_2}{r^2}$

Como $\vec{F}= d\vec{p}/dt$ pela segunda lei de Newton,

$\vec{F}_{12} + \vec{F}_{21} = 0 = \frac{d\vec{p}_1}{dt} + \frac{d\vec{p}_2}{dt} \;\Rightarrow \quad \; \frac{d}{dt}\left(\vec{p}_1 + \vec{p}_2\right) = 0$

Se denotarmos $\vec{P}= \vec{p}_1 + \vec{p}_2$ como sendo o momento linear total do sistema, temos que se a sua variação temporal é nula, significa que ele é uma constante no tempo.

A terceira lei de Newton leva a um importante resultado na Física: a lei da conservação do momento linear.

Essa lei diz que num sistema isolado (ação de forças externas é nula), o momento linear total do sistema permanece constante.

Esse mesmo resultado vale num processo de colisão; quando uma bola de bilhar bate na outra, as forças relevantes durante a colisão são as forças de contato, que são forças internas. Logo, o momento linear se conserva.

No site sobre leis de conservação, criado pela professora Ivânia de Oliveira, também no contexto do Mestrado Nacional Profissional em Ensino de Física, na página Conservação de Momento Linear, podem ser acessadas as discussões e consequências dos fenômenos envolvendo colisões entre corpos. Inúmeros casos são discutidos de maneira mais aprofundada.

Para saber mais e entender o assunto com mais detalhes, recomendamos o link abaixo de um vídeo sobre as três leis de Newton.

As Três Leis de Newton

Agora que discutimos formalmente as três leis de Newton, principalmente as duas primeiras, estamos na posição de discutir de forma quantitativa a relatividade de Galileo, a saber, as transformações de coordenadas.

Clique aqui para Transformação de Coordenadas