As Tranformações de Lorentz para a Velocidade

Vimos que as transformações de espaço e tempo pensadas por Galileu, ganharam outra interpretação após Albert Einstein. Tempo e espaço estão intrinsecamente relacionados.

Se essas duas grandezas sofreram profundas transformações na forma como a enxergávamos, é de se esperar que a velocidade, uma grandeza que depende dessas outras duas citadas, também deva ser reescrita.

As equações de Galileu são aplicadas a fenômenos que envolvem baixas velocidades, muito menores do que a da luz, e não ha dúvida que trazem bons resultados, pois em nosso cotidiano as aplicamos com sucesso a uma enorme variedade de fenômenos.

Suponhamos que dois observadores em movimento relativo entre si, observam o movimento de um corpo. Chamaremos esse acontecimento de evento, já definido anteriormente. Iremos assumir que cada um dos observadores se encontra em um referencial próprio, S e S’.

Como seriam medidas as velocidades desse corpo observadas a partir de dois diferentes referenciais?

Podemos começar respondendo essa pergunta partindo de um dos postulados da relatividade restrita, aquele que diz que a máxima velocidade permitida é a velocidade da luz.

A grandeza velocidade, é sempre definida como sendo a razão

$v=\frac{\Delta x}{\Delta t}$

Sendo s nosso vetor posição denotado por

$\vec{s} = s(x,y,z,t)$

Até Galileu como sabemos, não assumíamos a variação do tempo, apenas das coordenadas espaciais que eram funções matemáticas do tempo.

Em nosso estudos até aqui, exploramos o movimento relativo acontecendo num espaço de três coordenadas espaciais e mais uma do tempo, de modo que concluímos que os efeitos relativísticos afetam as coordenadas na qual a direção do movimento ocorre, e consequentemente, altera a coordenada tempo quando medida por diferentes referenciais.

Seguindo com esse raciocínio iremos escrever a expressão para a transformação de velocidades em dois referenciais, usando a própria definição de velocidade e as expressões de Lorentz para o espaço e para o tempo.

Assumiremos que um objeto possui uma velocidade $\bf u_x$ quando observado a partir de um referencial $\bf S$ , e então, iremos calcular a velocidade desse objeto quando medida a partir do referencial $\bf S'$ , este último que se move com velocidade $\bf v$ em relação a $\bf S$ .

Podemos entender essa velocidade do objeto como um evento observado portanto, a partir dos dois diferentes referenciais.

Assim

$u_{x}=\frac{\Delta x}{\Delta t}$

Fazendo

$\Delta x = \gamma \left ( \Delta x'+v\Delta t' \right )$

$\Delta t = \gamma \left ( \Delta t'+\frac{v\Delta x'}{c^{2}} \right )$

Aplicando a definição de velocidade

$\frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{\gamma \left ( \Delta x'+v\Delta t' \right )}{ \gamma \left ( \Delta t'+\frac{v\Delta x'}{c^{2}} \right )}$

Dividindo o numerador e o denominador da equação por um termo comum

$\frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{\gamma \left ( \Delta x'+v\Delta t' \right )}{ \gamma \left ( \Delta t'+\frac{v\Delta x'}{c^{2}} \right )} \cdot \frac{\frac{1}{\Delta t'}}{\frac{1}{\Delta t'}}$

Calculando

$\frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{ \left ( \frac{\Delta x'}{\Delta t'}+v\frac{\Delta t' }{\Delta t'}\right )}{ \left (\frac{\Delta t'}{\Delta t'} +\frac{v\Delta x'}{\Delta t'}\cdot \frac{1}{c^{2}} \right )}$

Temos como resultado

$\frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{ \left ( \frac{\Delta x'}{\Delta t'}+v\right )}{ \left (1 +\frac{v\Delta x'}{\Delta t'}\cdot \frac{1}{c^{2}} \right )}$

Lembrando que v é o valor da velocidade de um referencial em relação ao outro.

Na sequência, iremos utilizar uma ferramenta do cálculo diferencial chamada limite, com a qual podemos escolher intervalos muito pequenos para as variáveis.

Aplicando a definição de limite à expressão da velocidade, temos

$\frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{ \left ( \frac{\Delta x'}{\Delta t'}+v\right )}{ \left (1 +\frac{v\Delta x'}{\Delta t'}\cdot \frac{1}{c^{2}} \right )}$

Que é a velocidade medida no referencial S

De forma análoga portanto, teremos

$\lim_{\Delta t\rightarrow 0} = \frac{\Delta x'}{\Delta t'} = u_{x}'$

a velocidade medida no referencial $\bf S'$

Reescrevendo então, usando uma notação mais sintética

$u_{x} = \frac{u_{x}'+v}{1+u_{x}'\cdot (\frac{v}{c^{2}})}$

Para obtermos a expressão medida a partir de $\bf S'$ , basta substituirmos o sinal positivo pelo negativo

$u_{x}' = \frac{u_{x}-v}{1-u_{x}\cdot (\frac{v}{c^{2}})}$

As duas expressões relacionam a velocidade de um corpo medida em dois diferentes referenciais.

Se o objeto possuir velocidade ao longo dos eixos y e z, as componentes para a velocidade medidas por um observador em S’ são

Para o eixo x, como já visto

$u_{x}' = \frac{u_{x}-v}{1-u_{x}\cdot (\frac{v}{c^{2}})}$

Para o eixo y

$u'_{y} = \frac{u_{y}}{\gamma (1-\frac{u_{x}v}{c^{2}})}$

Para o eixo z

$u'_{z} = \frac{u_{z}}{\gamma (1-\frac{u_{x}v}{c^{2}})}$

Observe que as componentes para a velocidade medidas pro um observador em S’ para os eixos y e z não possuem o valor de v, já que o movimento relativo ocorre somente ao longo do eixo x.

Analisando o que acontece com a expressão para a velocidade observada, quando a velocidade v de um referencial for pequena, teremos

$\lim_{v\rightarrow 0}u=\lim_{v\rightarrow 0}\ \frac{u'+v}{1+u'\cdot (\frac{v}{c^{2}})} = u'+v$

Quando os valores de velocidade relativa entre os referenciais é pequeno, ou seja, são pequenos os suficiente para que os efeitos relativísticos sejam desprezados, a expressão para a velocidade medida de um objeto em diferentes referenciais, se aproxima da transformação clássica de Galileu.

$u\approx u'+v$

De outra maneira, se utilizarmos o valor mais alto possível para a velocidade v que é a velocidade da luz c, estaremos explorando o outro extremo para a solução de nossa equação.

$\lim_{v\rightarrow c}u=\lim_{v\rightarrow c}\ \frac{u'+v}{1+u'\cdot (\frac{v}{c^{2}})} = c$

Como foi dito, nos dois casos os limites representam o valor extremo a ser tomado, algo que na prática não ocorre. Sabemos que não existe diferença entre referenciais quando suas velocidades relativas são nulas, e também não existe objeto material que possa viajar à velocidade da luz, de modo que os valores para baixas velocidades fazem com que as transformações de Galileu se tornem aproximações do caso relativístico, mais geral portanto. Para altas velocidades, os efeitos relativísticos predominam e as transformações de Galileu levam a resultados cada vez mais imprecisos.

No caso relativístico mais extremo, convém chamar a atenção para um detalhe. A velocidade medida por um observador num referencial S, de um corpo que se move num referencial S’ que viaja cada vez mais próximo da velocidade da luz, tende para o próprio valor da velocidade da luz.

Isso mostra que as transformações de Lorentz para a velocidade obedecem o postulado de Einstein para a relatividade restrita que estabelece um limite para a máxima velocidade no universo, a qual nenhum objeto com massa de repouso diferente de zero pode atingir, que é a velocidade da Luz.

Um feixe de luz viaja com velocidade $\bf c$ medida a partir de um referencial fixo no planeta Terra.

No mesmo instante em que essa velocidade é medida, um observador viajando numa missão interstelar em sua espaçonave, passa pela mesma região do espaço e com uma velocidade de cruzeiro igual à metade da velocidade da luz, $\bf c$ , no mesmo sentido de sua propagação.

Qual é a velocidade da luz medida por esse observador?

Para descobrir qual é esse valor, deve-se aplicar a transformação de velocidades de Lorentz, pois o caso é relativístico.

Assim

$u_{A}'= \frac{u_{B}-v}{1-\frac{u_{B}\cdot v}{c^{2}}} = \frac{ c-0,5\cdot c}{1-\frac{(c)(0,5c)}{c^{2}}} = \frac{0,5c}{1-\frac{0,5c^{2}}{c^{2}}} = c$

Pode-se perceber, pelo resultado obtido, que qualquer que seja a velocidade com a qual um observador viaja, ele sempre medirá independentemente de seu referencial, a velocidade da luz como sendo $c$ . As equações da transformação de Lorentz para a velocidade, dá suporte ao postulado de Einstein sobre uma velocidade limite observada para a luz medida a partir de qualquer referencial.

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