Questões de vestibulares e ENEM – Relatividade Restrita

1) (UFPE) – Um astronauta é colocado a bordo de uma espaçonave e enviado para uma estação espacial a uma velocidade constante $v=0,8\cdot c$ , em que c é a velocidade da luz no vácuo. No referencial da espaçonave, o tempo transcorrido entre o lançamento e a chegada na estação espacial foi de 12 meses. Qual o tempo transcorrido no referencial da Terra, em meses?

Resolução:

$\dpi{300} \fn_cm \LARGE \Delta t = \Delta t_{0}\cdot \gamma = \Delta t_{0}\cdot \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}$

Esse é um problema onde o tempo transcorre de maneira diferente em dois referenciais. Devemos aplicar as transformações de Lorentz para calcularmos o tempo medido no referencial que viajou para estação espacial.

Substituindo pelos valores do enunciado

$\dpi{300} \fn_cm \LARGE \Delta t = \Delta t_{0}\cdot \gamma = 12\cdot \frac{1}{\sqrt{1-\frac{\left ( 0,8\right )^{2}\cdot c^{2}}{c^{2}}}}$

$\dpi{300} \fn_cm \large \Delta t = 12\cdot \frac{1}{\sqrt{1-\frac{\left ( 0,64\right )\cdot {\color{Red} c^{2}}}{{\color{Red} c^{2}}}}} = 12\cdot \frac{1}{\sqrt{{1-0,64}}} = 12\cdot \frac{1}{\sqrt{0,36}}$

$\dpi{300} \fn_cm \LARGE \Delta t = 12\cdot \frac{1}{0,6} = 20\ meses$

O tempo transcorrido para o observador que permaneceu em Terra durante a viagem do astronauta, é de 20 meses. O problema ilustra o efeito da dilatação do tempo no referencial daqueles que viajam próximos da velocidade da luz.

Resposta: 20 Meses

2) (UFRN) Raios cósmicos são partículas que bombardeiam continuamente a Terra. Eles são compostos, principalmente, de partículas alfa, prótons e neutrinos. Um neutrino vindo do espaço se desloca em relação à Terra com velocidade da luz igual a c. Para um foguete que se desloca com velocidade v em relação à Terra, em direção ao neutrino, esta partícula terá velocidade igual a:

a) v – c
b) v + c
c) c
d) v

Resolução:

Antes de partir para a resolução da questão há que se corrigir uma informação constante no enunciado. No trecho “Um neutrino vindo do espaço se desloca em relação à Terra com velocidade da luz igual a c“, comete-se um erro conceitual. Não existe partícula que possua massa de repouso maior do que zero que viaje à velocidade da luz. Essa informação é incorreta uma vez que, tal corpo necessitaria de uma quantidade de energia infinita.

Excetuando-se essa possibilidade, pode-se tomar como velocidade da partícula um valor bem próximo à velocidade da luz, tão próximo que podemos denotá-lo por c. Assim a velocidade medida para essa partícula medida a partir do referencial da espaçonave é o próprio valor de c, já que a velocidade da luz é sempre a mesma medida a partir de qualquer referencial.

Alternativa correta: C

3) (UFRGS-RS) Os múons cósmicos são partículas de altas energias, criadas na alta atmosfera terrestre. A velocidade de alguns desses múons (v) é próxima da velocidade da luz (c = 3 · 10⁸ m/s), tal que v² = 0,998 · c², e seu tempo de vida em referencial em repouso é aproximadamente t₀ = 2 · 10^–6 s. Pelas leis da mecânica clássica, com esse tempo de vida tão curto, nenhum múon poderia chegar ao solo, no entanto eles são detectados na Terra. Pelos postulados da relatividade restrita, o tempo de vida do múon em um referencial terrestre (t) e o tempo (t₀) são relacionados pelo fator relativístico

$\dpi{300} \fn_cm \LARGE \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}$

Para um observador terrestre, a distância que o múon pode percorrer antes de se desintegrar é, aproximadamente, de:

a) 6,0 · 10²m
b) 6,0 · 10³ m
c) 13,5 · 10³ m
d) 17,5 · 10³ m
e) 27,0 · 10³ m

Resolução:

Aplicando o fator de Lorentz para o tempo medido pelo múon, obtém-se o seguinte resultado

$\dpi{300} \fn_cm \large \Delta t_{T} = \Delta t_{M}\cdot \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}} =2\cdot 10^{-6}\cdot \frac{1}{\sqrt{1-\frac{0,998c^{2}}{c^{2}}}} = 4,5\cdot10^{-5} \ s$
$\dpi{300} \fn_cm \large \Delta t = 45\mu s$
O intervalo de tempo decorrido no referencial da Terra para um múon viajando muito próximo da velocidade da luz aumentou mais de 20 vezes!

$\dpi{300} \fn_cm \LARGE \frac{\Delta t_{T}}{\Delta t_{M}} = \frac{45\mu s}{2\mu s} = 22,5$
A distância percorrida pela múon no referencial da Terra é facilmente obtida aplicando-se a definição

$\dpi{300} \fn_cm \large \Delta s = v\cdot \Delta t = \sqrt{0,998 c^{2}}\cdot 45\cdot 10^{-6} = 13,5\cdot 10^{3}\ metros$
O problema envolve o fenômeno da contração do espaço. No referencial do múon o espaço deve contrair para que ele seja capaz de percorrer tal distância, num intervalo de tempo de apenas 2 μs em seu referencial. Por outro lado, no referencial da Terra, o que deve dilatar é o tempo medido, já que a única explicação para que o múon atravesse a camada atmosférica é a de que ele levou mais tempo para decair do que em seu próprio referencial, no caso calculado, e igual 45μs.

Alternativa Correta: C

5) (UFG-GO) Segundo a teoria da relatividade restrita de Albert Einstein, o tempo transcorre de maneira diferente para observadores com velocidades diferentes. Isso significa que, para um observador em um referencial fixo, transcorre um intervalo de tempo ∆t entre dois eventos, enquanto, para um observador em um referencial que viaja com uma velocidade constante v, em relação ao referencial anterior, o intervalo de tempo entre os mesmos eventos será ∆t’. Os dois intervalos de tempo estão relacionados por:

$\dpi{300} \fn_cm \LARGE \Delta t = \frac{\Delta t'}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}$

que representa uma dilatação temporal. Nesta expressão, c é a velocidade da luz no vácuo. Com essa teoria surge o paradoxo dos gêmeos: para o piloto de uma espaçonave que realizou uma viagem espacial, com uma velocidade constante de 0,8 · c, transcorreram-se 18 anos até o seu retorno à Terra. Para o gêmeo que ficou na Terra, calcule quanto tempo durou a viagem do seu irmão, o piloto.

Resolução

O tempo medido no referencial do piloto, aqui denotado por $\Delta t'$ , é o tempo próprio.

Então

$\dpi{300} \fn_cm \LARGE \Delta t = \frac{18}{\sqrt{1-\frac{\left ( 0,8\cdot c \right )^{2}}{c^{2}}}}$
Calculando

$\dpi{300} \fn_cm \LARGE \Delta t = \frac{18}{\sqrt{1-0,64}} = \frac{18}{\sqrt{0,36}} = \frac{18}{0,6}= 30\ meses$

6) (UFRGS-RS)De acordo com a teoria da relatividade, quando objetos se movem através do espaço-tempo com velocidades da ordem da velocidade da luz, as medidas de espaço e tempo sofrem alterações. A expressão da contração espacial é dada por:

$L=L_{0}\cdot \left ( 1-\frac{v^{2}}{c^{2}} \right )^{\frac{1}{2}}$

em que $v$ é a velocidade relativa entre o objeto observado e o observador, $c$ é a velocidade de propagação da luz no vácuo, $L$ é o comprimento medido para o objeto em movimento e $\L_{0}$ é o comprimento medido para o objeto em repouso. A distância Sol – Terra para um observador fixo na Terra é $\L_{0}$ = $1,5\cdot 10^{11}m$ . Para um nêutron com velocidade $v = 0,6 \cdot c$ , essa distância é de:

a) 1,2 · 10¹⁰ m
b) 7,5 · 10¹⁰ m
c) 1,0 · 10¹¹ m
d) 1,2 · 10¹¹ m
e) 1,5 · 10¹¹ m

Resolução

O problema envolve o fenômeno da contração do espaço. A distância Sol -Terra será diferente para observadores que experimentam movimento relativo em condições relativísticas.

Assim, substituindo, tem-se:

$L = 1,5\cdot 10 ^{11}\left ( 1-\frac{(0,6c)^{2}}{c^{2}} \right )^{\frac{1}{2}}$

$L = 1,5\cdot 10 ^{11}\cdot \left ( 1-0,36 \right )^{\frac{1}{2}}$

O que dá como resultado

$L = 1,5\cdot 10 ^{11}\cdot \left ( 0,64 \right )^{\frac{1}{2}} = 1,5\cdot 10^{11}\cdot \frac{4}{5}=1,2\cdot 10^{11}\ m$

Alternativa D

7) (UPE)Um trem de comprimento igual a $100\ m$ viaja a uma velocidade de $0,8 \cdot c$ , em que c é a velocidade da luz quando atravessa um túnel de comprimento igual a $70\ m$ . Quando visto por um observador parado ao lado dos trilhos, é correto afirmar que o trem.

a) não chega a ficar totalmente dentro do túnel, restando um espaço de 12 m fora do túnel.
b) fica totalmente dentro do túnel e sobra um espaço de 10m.
c) fica totalmente dentro do túnel e sobra um espaço de 15m.
d) não chega a ficar totalmente dentro do túnel, restando um espaço de 5 m fora do túnel.
e) fica totalmente dentro do túnel e não resta nenhum espaço.