O Paradoxo da Vara e do Celeiro – Relatividade Restrita

O Paradoxo da Vara e do Celeiro

O Paradoxo dos gêmeos, discutido e disponível na página sobre a Dilatação do Tempo, é conhecido como um problema famoso de Relatividade Restrita. Outro paradoxo famoso é o problema da Vara e do Celeiro. Vamos a ele.

Um homem correndo com uma velocidade de 0,750 ·c carrega consigo e paralela ao solo uma vara de 15 metro de comprimento. Logo à sua frente está um celeiro de 10 metros de comprimento que possui portas frontais e portas de fundo. As portas podem ser acionadas por um observador localizado em solo de maneira instantânea e simultânea por meio de um controle remoto. Quando o corredor carregando sua barra estão no interior do celeiro, o observador em Terra fecha e abre as portas de modo que momentaneamente o corredor e sua barra fiquem capturados dentro do celeiro. Logo em seguida, o corredor e sua barra escapam pela porta dos fundos do celeiro.

É possível que o corredor e o observador em Terra, concordem que o corredor consiga fazer isso de maneira segura?

Olhando o problema e pensando em nossas experiências diárias, seria muito estranho encaixar uma barra de 15 metros de comprimento dentro de um celeiro de apenas 10 metros, porém de um ponto de vista de uma situação relativística, podemos obter resultados bem surpreendentes.

A barra viaja com uma velocidade constante nas mãos de seu carregador, o que a coloca em condição de um referencial inercial. O mesmo ocorre para o observador em solo, que está em repouso com relação a um referencial inercial.

Sabemos que essa situação somente seria possível de ocorrer se houvesse alguma alteração nos comprimentos dos corpos envolvidos, o que somente seria possível em condições relativísticas, que como sabemos são aquelas que envolvem altas velocidades.

Como a velocidade do corredor é uma velocidade próxima da velocidade da luz, podemos calcular o comprimento da barra quando vista pelo observador em solo.

Usando a equação para calcular a contração observada, obtemos

$L_{Barra} = L_{p}(\gamma ^{-1}) = L_{p}\cdot \sqrt{1-\frac{(0,75\cdot c)^{2}}{c^{2}}}$

$L_{Barra}= 15\cdot \sqrt{1-(0,75)^{2}} = 9,9 \ metros$

Do ponto de vista do observador em solo, a barra é ligeiramente menor do que o celeiro. Dessa forma não haverá problema algum em fechar as portas do celeiro com a barra contida em seu interior.

O Paradoxo surge quando olhamos o problema do ponto de vista do corredor.

Da mesma maneira, iremos calcular o comprimento do celeiro como visto a partir de seu referencial.

Usando a mesma equação, agora quem “se move” em relação ao corredor é o celeiro que se aproxima de seu referencial.

$L_{Celeiro} = L_{p}(\gamma ^{-1}) = L_{p}\cdot \sqrt{1-\frac{(0,75\cdot c)^{2}}{c^{2}}}$

$L_{Celeiro}= 10\cdot \sqrt{1-(0,75)^{2}} = 6,6 \ metros$

A situação que era complicada ficou ainda mais se lavramos em conta aquilo que é medido e observado pelo corredor.

Em seu referencial o celeiro diminuiu de tamanho e a barra que ele carrega permanece com o mesmo comprimento.

Uma caminho para resolvermos esse paradoxo é pensando não apenas no comprimento dos corpos envolvidos. Não podemos ignorar o fato de que o observador em Terra pode enxergar a situação da barra cabendo no celeiro se as portas forem fecharem e abrirem simultaneamente. Mesmo que momentaneamente a barra permanece contida dentro do celeiro, e não existe absurdo nessa situação.

De outra forma, no referencial do corredor o que deve acontecer é que uma vez que as dimensões da barra e do celeiro são incompatíveis, só existe uma saída para a resolução desse problema. Os eventos de abertura e fechamento das duas portas não são simultâneos nos dois referenciais.

Podemos verificar isso utilizando as transformações de Lorentz para o tempo.

Lembrando que podemos medir o intervalo de tempo entre dois eventos utilizando a expressão

$\Delta t = \gamma \left ( \Delta t'+\frac{v\Delta x'}{c^{2}} \right )$

Esse intervalo entre os dois eventos vale tem duração nula no referencial que está em Terra, já que os eventos são simultâneos.

Aplicando a transformação para o referencial que se move com a barra, teremos a expressão similar

$\Delta t' = \gamma \left ( \Delta t-\frac{v\Delta x}{c^{2}} \right )$

Observe que a separação espacial no referencial onde o celeiro está em repouso, produz a não simultaneidade dos eventos num dos referenciais.

Substituindo os valores

$\gamma = \frac{2}{3}$

$\Delta t = 0 s$

$v = \frac{3}{4}c$

$\Delta x = 10\ m$

$\Delta t'= \frac{2}{3}(0 - \frac{3c\cdot 10}{4c^{2}})$

$\Delta t' = \gamma \left ( \Delta t-\frac{v\Delta x}{c^{2}} \right )$

$\Delta t'= -\frac{5}{3}\cdot 10^{-8} s$

Que é o tempo decorrido entre os dois eventos, no caso fechamento e abertura das portas.

Pensando no problema físico e real, poderíamos nos perguntar qual das duas portas fecha primeiro, já que o intervalo de tempo não deixa isso claro. Estando as duas portas do celeiro abertas antes da entrada da barra, a primeira a fechar tem que ser a porta dos fundos do celeiro, do contrário a porta frontal fecharia e quebraria a vara, já que essa ainda não está totalmente no interior do celeiro.

A porta que fecha primeiro, é também a porta que deve se abrir primeiro, pois assim parte frontal da barra deixa o celeiro enquanto seu restante entra.

Assim que a ponta traseira da barra estiver completamente dentro do celeiro, a porta frontal se fecha.

Observe que no referencial do celeiro a barra fica totalmente contida em seu interior, já que o fechamento e a abertura das portas é simultâneo.

No referencial que se move com a barra, a simultaneidade não existe, assim a barra nunca fica completamente contida no interior do celeiro, além do que se os eventos fossem simultâneos nesse referencial, não seriam no outro.

Os vídeo abaixo contém explicações sobre esse paradoxo.

O vídeos seguinte é mais avançado e fica como sugestão para um entendimento mais aprofundado sobre o assunto.