Relatividade de Galileu – Problemas

Problema I

Um trem  A de 250 m de comprimento move-se com velocidade constante de 30 m/s em relação ao solo, ultrapassa um outro trem B com 200 m de comprimento, que se movimenta em sentido contrário com velocidade constante de 20 m/s, também em relação ao solo. Qual o tempo de ultrapassagem do dois trens?

 

Resolução I

Iniciaremos a resolução do problema com a escolha de um referencial. Tal referencial deve ser inercial, pois como vimos isso simplifica bastante nosso estudo.

A escolha da Terra como referencial inercial é na maioria das vezes uma boa escolha mas não é exclusiva. Note que nesse problema os trens movem-se com velocidade constante em relação à Terra, então escolher como referencial um dos trens em nada destoa de nosso princípio, pois referenciais que se movem com velocidade constante em relação a um referencial inercial, são também referenciais inerciais.

Tomando como referencial a Terra fixaremos um ponto na trajetória dos dois trens que seja mais conveniente e simplifique nossa análise. Como queremos o intervalo de tempo decorrido na ultrapassagem, iniciaremos nosso problema quando os dois trens estiverem com suas dianteiras emparelhadas. Podemos escrever as equações do movimento para esses dois trens.

Trem I

Funções horárias da posição

    \[x(t) = -250 + 30t\]

    \[y(t) = y\]

    \[z(t) = z\]

Trem II

    \[x(t)' = 200 - 20t\]

    \[y(t)' = y\]

    \[z(t)' = z\]

A resolução analítica da equação obtemos igualando as equações das posições em todas as coordenadas.

    \[x(t) = x(t)'\]

    \[-250 + 30t=200 - 20t\]

 

    \[30t + 20t = 200 + 250\]

    \[50t = 450\]

    \[t = 9 s\]

    \[y(t) = y(t)' \Rightarrow y = y\]

    \[y(t) = y(t)' \Rightarrow y = y\]

 

    \[z(t) = z(t)' \Rightarrow z = z\]

 

Note que as coordenadas perpendiculares ao movimento não sofrem alteração, já que as posições são afetadas apenas na direção do movimento.

Resolução II

Outro caminho para resolvermos esse problema é adotar como referencial um dos trens em movimento. Como os dois trens possuem movimento retilíneo uniforme, a escolha de qual será nosso referencial não faz diferença para o cálculo que iremos fazer.

Assim sendo escolho o trem A e deixo para o leitor como exercício, resolver o problema escolhendo como referencial o trem B.

Para tal precisaremos representar a velocidade do trem B relativa ao trem A, uma vez que para nossos propósitos tudo se passa como se o trem A estivesse em repouso.

Utilizaremos a expressão de velocidade relativa dada por

    \[V_{rel} = V_{A} - V_{B}\]

    \[V_{rel} = 30 - (-20)\]

    \[V_{rel} = 50 m/s\]

Tomando como início do encontro entre os trens o alinhamento de suas dianteiras e a completa ultrapassagem o fim do alinhamento de suas traseiras, escreveremos as equações do movimento para os dois trens.

    \[x(t) = x(t)'\]

    \[-250=200 - 50t\]

    \[50t = 200 + 250\]

    \[50t = 450\]

    \[t = 9 s\]

Novamente encontramos o valor de 9 segundos para a completa ultrapassagem relativa dos trens mostrando que a decisão de escolher referenciais em M.R.U. independentemente de quem sejam, nos leva aos resultados corretos.

 

Problema II

É comum em filmes ou vídeos que retratam combates envolvendo aeronaves, cenas de aviões bombardeiros liberando bombas que atingem seus alvos localizados em solo.

Normalmente são retratados do ponto de vista de quem é atingido pelo bombardeio, ou seja a forma como é visto a partir da Terra esses acontecimentos.

Suponhamos um avião de guerra deseja bombardear um ponto estratégico. Tal avião possui uma velocidade de cruzeiro de 540 km/h, e voa a uma altitude de 9500 m.

Resolução

Podemos facilmente calcular o tempo de queda utilizando a relação

    \[t = \sqrt{\frac{2h}{g}}\]

  

Substituindo

    \[t = \sqrt{\frac{2\cdot 9500}{10}} \approx 43,6\ segundos\]

Sabendo o tempo de queda podemos prever a que distância precisa ser abandonada a bomba para que ela caia sobre o alvo com precisão.

Para isso usaremos o fato de que o movimento horizontal da bomba não afeta e não é afetado pela queda.

Assumindo que o avião move-se com a velocidade mencionada no enunciado do problema ao longo de um eixo horizontal, em nosso caso eixo x, calcularemos quanto a bomba percorrerá horizontalmente antes da tocar o solo.

O fator 3,6 converte a velocidade para a unidade mais conveniente, m/s.

Substituindo t = 43,6 s

    \[x(t) = 6540\ metros\]

Embora pareça estranho considerar isso inicialmente devemos lembrar que para um observador contido no referencial em movimento retilíneo uniforme, o fenômeno por ele observado é o de um movimento puramente vertical, já que ambos permanecem deslocando-se para o mesmo sentido após a separação.

Segundo a relatividade de Galileu, ambos observadores devem concordar com a simultaneidade daquilo que é observado, e ainda que o movimento do corpo em queda seja diferente para os dois observadores, o intervalo de tempo entre o inicio e o final do movimento devem ser os mesmos. 

Essa é mais uma constatação de que o movimento observado a partir de um referencial inercial é equivalente ao movimento observado de qualquer referencial inercial, e que os resultados obtidos devem ser compatíveis. No caso de fenômenos do cotidiano, o tempo em que esses fenômenos ocorrem, é o mesmo medido nos dois referenciais. Diz-se então que o fenômeno é simultâneo nos dois referenciais.