Dilatação do Tempo e a Contração do Espaço

Dilatação do Tempo

Como ficou postulado, a única grandeza absoluta em qualquer referencial é a velocidade da luz.

Para começarmos a entender as consequências dos postulados imaginemos o seguinte experimento: Uma espaçonave move-se com velocidade constante e de intensidade $\bf v$ , em relação a um observador em repouso localizado na superfície do planeta Terra.

Chamaremos para simplificar os referenciais da Terra de $\bf S$ e o do astronauta de $\bf S'$ .

Em seu interior um astronauta dispõe de um aparato composto por uma fonte de Luz presa ao solo da espaçonave, capaz de emitir pulsos luminosos de pequena duração. Esses pulsos luminosos viajam em linha reta e vertical atingindo um espelho fixado imediatamente acima da fonte luminosa, no teto da espaçonave, de modo que o pulso pode ser refletido de volta para sua fonte onde também existe um detector. Abaixo segue uma representação do que um observador no referencial da espaçonave observa para o caminho do pulso de luz, por simplificação, aqui representado por uma bolinha.

Disponível na íntegra em:https://youtu.be/iIEeSiT3SI4

Como já foi dito, para o observador localizado na Terra, a espaçonave tem o movimento que pode ser visualizado abaixo

Disponível na íntegra em:https://youtu.be/iIEeSiT3SI4

Contudo o que nos interessa saber é qual o caminho observado para o pulso de luz quando visto a partir do referencial em Terra.

Seguramente não deve ser o mesmo observado pelo astronauta, já que para o observador em Terra, existe o movimento da espaçonave e que deve ser levado em consideração.

Disponível na íntegra em:https://youtu.be/iIEeSiT3SI4

Vemos na legenda da animação, em inglês, a descrição para a trajetória vista pelo observador em Terra.

Enquanto o astronauta assiste o pulso caminhar em trajetória retilínea, o observador em Terra enxerga uma trajetória diagonal.

Acontece que enquanto a espaçonave passa pela Terra, o astronauta aciona seu aparato que emite um pulso de luz, e ambos veem o pulso luminoso, sua reflexão na superfície do espelho e o retorno do raio de Luz.

Os dois observadores concordarão quanto ao fenômeno ocorrido, a isso chamaremos de evento. É importante o fato de que os dois observadores enxergarão o mesmo fenômeno, lembre-se de que o 1º postulado da relatividade restrita estabelece que não existem referenciais privilegiados.

Onde estaria então a diferença na observação do fenômeno?

Para entendermos melhor o que está acontecendo, iremos começar a calculando o tempo devido ao movimento vertical do pulso de luz visto pelo astronauta, baseando-se na altura da espaçonave e na velocidade do feixe de Luz, que chamaremos de $\bf c$ .

Chamando a altura da espaçonave de $\bf D$ , temos

Disponível na íntegra em:https://youtu.be/iIEeSiT3SI4

Aqui introduziremos a notação $\bf \Delta t_p$ ao invés de simplesmente $\bf t$ , correspondente ao que chamamos de tempo próprio do observador. É o intervalo de tempo medido por quem encontra-se no referencial da espaçonave.

$\Delta t_{p} = \frac{2D}{c} = \frac{comprimento\ percorrido\ pelo\ raio\ de\ Luz}{velocidade\ da\ luz}$

Seguindo o mesmo raciocínio, podemos calcular o intervalo de tempo necessário para que a Luz percorra a trajetória como vista pelo observador em Terra.

Disponível na íntegra em:https://youtu.be/iIEeSiT3SI4

Utilizando a nomenclatura da animação, temos

$D = Dist\^ancia\ Vertical$

$L = Dist\^ancia\ horizontal\ percorrida\ pela\ Espa\c{c}onave$

$s = Caminho\ do\ pulso\ de\ luz\ observado\ da\ Terra$

Agora vamos explicitar essas medidas em função de outras grandezas, como a velocidade da espaçonave v e a velocidade da Luz c.

$L = \frac{v\Delta t}{2}$

$s = \frac{c\Delta t}{2}$

Com essas duas substituições podemos calcular o tempo medido pelo observador homem em repouso na Terra, no referencial que chamamos de S. Usando o teorema de Pitágoras, têm-se

$D^{2}+L^{2} = s^{2}$

$D^{2} +(\frac{v\Delta t}{2})^{2} = (\frac{c\Delta t}{2})^{2}$

Em seguida, isolamos o termo dependente do tempo

$\Delta t = \frac{2D}{\sqrt{c^{2}- v^{2}}}$

Com mais um pouco de álgebra

$\Delta t =\frac{2D}{c\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}$

Como

$\Delta t_{p}=\frac{2D}{c}$

Obtemos a relação entre os dois intervalos de tempo

$\Delta t = \frac{\Delta t_{p}}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} = \gamma \Delta t_{p}$

Nosso último resultado relaciona intervalos de tempo diferentes. O intervalo de tempo medido no referencial S’, é diferente do intervalo de tempo medido no referencial S. Astronauta e observador em Terra não concordam quanto ao valor desses intervalos. A diferença é dada por um fator que relaciona os dois intervalos de tempo.

Denotaremos por $\gamma$ , que também é chamado de fator de Lorentz. Ele mostra que o tempo medido por um observador dito em repouso em relação a outro que se move, é multiplicado por um número maior do que 1 toda vez que um observador se movimenta em relação a outro.

$\mathbf{\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} }$

Isso acaba gerando uma consequência direta acerca das percepções de cada observador. Embora ambos possam reconhecer o mesmo fenômeno, que é a emissão do pulso luminoso, ambos discordam sobre quando tal evento ocorreu.

Em nosso cotidiano não percebemos esses efeitos em nossas experiências porque as velocidades com as quais nos movimentamos em relação a referenciais que estejam em repouso, digamos objetos parados em relação à superfície da Terra, são muito baixas. Observe que o fator de Lorentz relaciona a velocidade de movimento dos corpos com a velocidade de propagação da luz, que possui um valor gigantesco se comparado às nossas experiências diárias.

Efeitos relativísticos perceptíveis ocorrem quando as velocidades dos corpos são de aproximadamente $\boldsymbol{10\%\cdot c}$ , ou quando tem-se movimentos que que ocorrem por longos períodos de tempo provocando efeitos cumulativos.

Como sugestão, os vídeos abaixo fala de algumas aplicações sobre o fenômeno da Dilatação do Tempo.

Dois eventos são simultâneos para dois observadores, apenas se eles estiverem num mesmo referencial.

Observe que quando nos referimos à dilatação temporal, não falamos de um tempo absoluto. A teoria da relatividade recebe esse nome justamente por conta dessa caracterização dada às grandezas espaço e tempo. Observamos que o intervalo de tempo é diferente quando comparado entre referenciais, sendo que esses se relacionam pelo fator de Lorentz.

Dizemos que o tempo passa à mesma razão para dois observadores se os dois experimentam a simultaneidade de eventos, e para que isso ocorra, os dois observadores devem estra em repouso com relação a eles mesmos.

A contribuição da teoria da relatividade para a compreensão do tempo, está intimamente ligada à ideia de simultaneidade. Observadores que movimentam-se relativamente entre si, não podem ter seus relógios sincronizados, haja vista que os intervalos de tempo por ele medidos não são os mesmos.

Contração do Espaço

Ainda segundo a teoria da relatividade restrita e como consequência direta do postulado de que a velocidade da luz é a mesma quando medida a partir de qualquer referencial, a medição de distâncias a partir de diferentes referenciais também é afetada.

Chamaremos assim como fizemos com o tempo, de comprimento próprio a distância entre dois pontos, quando medida a partir de um referencial em repouso. De outra forma, deve existir algum outro referencial inercial no qual se possa medir tal comprimento, que esteja em movimento em relação ao primeiro.

Pense na seguinte situação hipotética, você, habitante do planeta Terra, observa e mede a distância entre duas estrelas distantes localizadas em algum ponto do universo.

Da mesma forma que você, um astronauta embarcado em uma espaçonave que viaja com uma velocidade constante pelo espaço vai de uma estrela até a outra, e com isso é capaz de medir essa distância entre as duas estrelas.

Chamaremos

$\boldsymbol{\ L_{p}} = comprimento\ medido\ a\ partir\ da\ Terra$

$\mathbf{ \ L } = comprimento\ medido\ pelo\ astronauta$

Para você que encontra-se na Terra, a distância medida entre as duas estrelas pode ser facilmente calculada como sendo

$\ L_{p} = c\Delta t$

Utilizando a mesma relação, podemos calcular a distância medida pelo astronauta

$L = c\Delta t_{p}$

Lembrando que as medidas correspondem ao intervalo de tempo que a luz leva para percorrer determinada distância.

O tempo em questão é aquele medido no referencial embarcado, ou seja é o tempo próprio do referencial que viaja com uma velocidade constante em relação ao observador da Terra. Assim como no exemplo da espaçonave, tempo próprio era aquele medido pelo astronauta.

Como a velocidade da luz é uma grandeza absoluta em qualquer um dos referenciais, podemos igualar as duas equações

$\frac{L_{p}}{\Delta t} = \frac{L}{\Delta t_{p}}$

E mais uma vez com um pouco de álgebra

$L = \frac{L_{p\Delta t_{p}}}{\Delta t}$

Como

$\Delta t = \gamma \Delta t_{p}$

Substituindo

$L = \frac{L_{p}{\Delta t_{p}}}{\gamma \Delta t_{p}}$

Por fim chegamos no comprimento medido pelo astronauta

$L = \frac{L_{p}}{\gamma}$

No problema-exemplo abaixo é possível entender de maneira mais clara com a ajuda dos números, o que acontece num caso como esse.

Uma viagem para Sirius

Um astronauta embarca numa viagem em direção à estrela Sirius localizada a uma distância de 8 anos-luz da Terra. O astronauta mede o tempo de sua viagem de ida de 6 anos. Se a espaçonave se move com velocidade constante de 0,8·c, como é possível que uma viagem de 8 anos-luz de distância possa “caber” em 6 anos-luz de distância.

O problema está de acordo com o 1º postulado da relatividade restrita, já que ambos observadores encontram-se em referenciais inerciais.

O problema parece desrespeitar o 2º postulado da relatividade restrita que estabelece um limite máximo de velocidade. Assim sendo poderia o astronauta viajar mais rápido do que a luz?

A medida de distância para um observador na Terra, é de 8 anos-luz como já dito. Chamaremos essa distância de comprimento próprio (L_p).

Utilizando a expressão que relaciona os comprimento medidos em diferentes referenciais

$L = \frac{L_{p}}{\gamma} = (8)\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}} = (8)\sqrt{1 - \frac{(0,8c)^{2}}{c^{2}}}$

$L = 5\ anos-luz$

Medindo o tempo de viagem no referencial do astronauta, temos

$\Delta t = \frac{L}{v} = \frac{5}{0,8\cdot c} = \frac{5\ anos-luz}{0,8( 1 \cdot \frac{ano-luz}{ano})} = 6 \ anos-luz$

Perceba que para evitarmos cálculos desnecessários, substituímos o valor de velocidade da luz como sendo c = (1 ano-luz/ano). O intervalo de tempo foi inferior a 8 anos para o referencial do astronauta porque para o eles distância Terra-Sirius, é menor quando medida de seu referencial.

E se o observador em Terra pudesse medir o tempo de viagem do astronauta observando sua jornada vista a partir de um poderosíssimo telescópio?

$\Delta t = \frac{L}{v} = \frac{ 8\ anos-luz}{0,8\cdot c} = 10 \ anos$

Considerando o tempo de viagem da luz, que representa a informação transmitida da chegada do astronauta, temos

$\Delta t = \frac{L}{v} = \frac{ 8\ anos-luz}{ c} = 8 \ anos$

Consequentemente, o observador em Terra vê a chegada do astronauta 18 anos depois de sua partida (10 anos + 8 anos). Se o astronauta ao chegar na estrela e der meia volta retornando à mesma velocidade de, (0,8·c), segundo os cálculos do observador em Terra, mais dez anos seriam necessários totalizando um tempo de viagem de 20 anos.

Por conta do tempo de trânsito da informação, que foi de 18 anos, o observador em Terra veria o astronauta chegar de viagem, apenas dois anos depois de sua partida. Por outro lado o astronauta teria envelhecido apenas 12 anos.

O que percebemos com esse resultado é que a distância medida por você que encontra-se em Terra é maior do que aquela medida pelo astronauta a bordo de sua espaçonave.

O astronauta experimentou a contração do espaço. Podemos pensar da seguinte forma, no referencial da espaçonave, a viagem desse astronauta levou menos tempo do que o tempo medido por quem estava em Terra, consequentemente para que isso faça sentido e seja coerente com a realidade então, a viagem feita pelo astronauta deve ter menor distância do que aquela medida por um observador aqui da Terra.

Na aplicação abaixo, você pode simular qual seria o aspecto de um objeto que se desloca a velocidades próximas à da luz. Perceba também seu caráter relativo, uma vez que a contração do espaço acomete tudo aquilo que está contido nele, sendo também relativo não existindo uma métrica absoluta para o espaço.

Na simulação você pode se divertir tentando esconder completamente um ônibus dentro de uma garagem.

Disponível em https://iwant2study.org/lookangejss/06QuantumPhysics/ejss_model_relativity_LengthLorentzTransformation/relativity_LengthLorentzTransformation_Simulation.xhtml

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