Relatividade Restrita – As Equações da Transformação de Lorentz

Como vimos, as equações de Galileu levam a resultados muito próximos dos resultados experimentais quando a velocidade dos corpos envolvidos é muito menor do que a velocidade da luz, ou seja quando temos $v \ll c$ .

Para velocidades maiores do que digamos $0,\!1c$ , os efeitos relativísticos tornam-se suficientemente significativos de maneira tal que não podemos mais desprezá-los, sob a pena de não sermos capazes de prever corretamente as características e os resultados dos movimentos.

As equações que iremos estudar nessa página relacionam as coordenadas espaço-temporais de um evento em dois referenciais inerciais, que denotaremos por $S$ e $S'$ . Tomaremos $S'$ como sendo um referencial que se move com uma velocidade $v$ constante em relação ao referencial $S$ na direção do eixo $x$ positivo, e então escreveremos as equações do movimento para o caso das altas velocidades.

Já fizemos isso uma vez para o caso clássico quando estudamos as equações do movimento de Galileu, e agora nessa página apresentaremos o que chamamos de Equações da Transformação de FitzGerald – Lorentz.

As Transformações de FitzGerald – Lorentz

Uma outra hipótese para tentar explicar os efeitos observados no experimento de Michelson-Morley, foi proposta por George FitzGerald e desenvolvida por Hendrik Lorentz.

Segundo essa explicação, quando um corpo está em movimento, ele é encurtado na direção do movimento numa proporção que é função de sua velocidade. Essa contração deveria ser capaz de explicar o resultado adverso obtido pelo experimento de Michelson-Morley. A aparente diferença de tempo entre os feixes luminosos refletidos, não aparecia no interferômetro sob a forma de uma interferência destrutiva, por que o efeito da contração do espaço nessa direção compensaria essa diferença. Os feixes chegariam ao mesmo tempo, e portanto, corroborando com os resultados experimentais.

A solução proposta, contava com um conjunto de transformações matemáticas que permitia calcular essa contração sofrida pelos corpos que viajassem com velocidade, e podia portanto, calcular a contração sofrida pelo braço do interferômetro à medida que ele viajasse pelo espaço dotado da mesma velocidade orbital da Terra.

As transformações matemáticas que ficaram conhecidas pelo nome da transformações de FitzGerald – Lorentz propunham descrever eventos que ocorriam num ponto do espaço observados a partir de dois diferentes referenciais.

Uma forma prática de pensar num referencial é imaginar uma estrutura espacial tridimensional, onde as distâncias entre pontos de coordenadas são dadas por números. Pensando num plano bidimensional, apenas para efeitos de simplificação, um ponto em qualquer desse plano pode ser localizado por suas distâncias relativas aos eixos $x$ e $y$ . Tem-se portanto o par ordenado que é conhecidamente escrito por $(x;y)$ , onde os valores $x$ e $y$ são representados por qualquer número real.

Supondo um referencial $S'$ que viaja com velocidade $\vec{v}$ com relação a um referencial $S$ , como já foi visto, deve ser possível descrever sua posição a partir desses dois referenciais.

Em dado momento uma informação luminosa, um pulso de luz por exemplo, é emitido na origem do referencial $S$ .

Também como foi visto, nas transformações de Galileu, o tempo era invariante quaisquer que fossem os referenciais de onde se observam fenômenos ocorrerem. Como os resultados do experimento de Michelson – Morley não mostraram-se exitosos em provar a existência do éter, a transformação deveria ser capaz de contemplar a suposta contração do espaço hipotetizada por Lorentz.

Embora o conjunto de transformações fosse preciso e útil para o cálculo dos efeitos de contração do espaço e consequentemente de dilatação do tempo, elas não davam uma explicação satisfatória de o que de fato acontecia. As equações eram funcionais, mas não carregavam nenhuma informação sobre a forma de como a natureza funcionava.

Toda transformação de coordenadas é uma forma matemática de escrever de que forma tais coordenadas relacionam-se entre si.

Esse conjunto de transformações ficou conhecida como Transformações de FitzGerald-Lorentz.

Os cientistas da época estavam diante de uma situação que os forçaria a uma quebra de um paradigma sobre o qual a ciência estava sedimentada. O experimento de Michelson-Morley não indicava a presença de algum referencial no qual se pudesse medir algum valor diferente para a velocidade da luz, de outro modo foi preciso assumir, até então por uma razão desconhecida, que as dimensões espaciais dos corpos sofriam algum tipo de “encolhimento”, com o aumento da velocidade desses corpos no sentido do movimento.

Sem a devida explicação física do fenômeno, a busca por uma expressão matemática que relacionasse medidas realizadas em diferentes referenciais, ou ainda por uma transformação, seguiu adiante.

Para o caso, a transformação matemática buscada deveria contemplar a seguinte condição:

$x^{2}+y^{2}+z^{2}+c^{2}t^{2}\rightleftharpoons x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}+c^{2}t'^{2}$

Antes do prosseguimento, algumas observações importantes estão listadas a seguir:

Um movimento retilíneo para o referencial $S$ , é também retilíneo para o referencial $S'$ .
Se a velocidade de translação do referencial $S'$ for zero ( $V_{\hat{x}}=0$ ), a solução da transformação linear será reduzida à identidade, pois as unidades de medida escolhidas para os dois sistemas são as mesma.
Um sinal luminoso enviado na origem comum dos dois sistemas de coordenadas no instante em que os relógios estão sincronizados ( $t = t' = 0$ ), deve propagar-se com velocidade c em ambos referenciais com velocidade $c$ .

Note que com relação aos comprimentos transversais, não ocorre qualquer tipo de relacionado às suas dimensões nos dois referenciais, pois a velocidade relativa entre os referenciais tem direção somente ao longo do eixo x.

Assim, pode-se escrever uma condição que é necessária para o prosseguimento.

$y = y' \ \ \ \ \ \ , \ \ \ \ \ \ z = z'$

Quanto aos comprimentos longitudinais dos dois eixos, tem-se a componente que depende da velocidade. Embora foi tomado como sendo a origem do sistemas de coordenadas para o instante inicial, ( $t = t' = 0$ ), nos instantes posteriores, a transformação obrigatoriamente deve conter uma expressão que relacione a posição no referencial $S'$ com a posição no referencial $S$ . Isso já foi discutido na página Transformação de Coordenadas, de modo que pode-se escrever a posição medida a partir desse referencial $S$ sempre com base na relação linear $x = Vt$ .

O objetivo agora é encontrar uma expressão que seja capaz de transformar as equações do movimento num referencial para as equações do movimento de outro referencial.

Assim, a conhecida expressão para a transfromação de coordenadas de Galileu, pode ser reescrita da seguinte forma:

$x' = A\left ( x-Vt \right )$

Note que na transformação, o tempo $t$ não é necessariamente uma constante, o que implica num transformação sobre essa variável frente aos dois referenciais, desse modo

$t' = Bt + Cx$

Aplicando as condições obtidas sobre

$x^{2}+y^{2}+z^{2}+c^{2}t^{2} = x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}+c^{2}t'^{2} = 0$

obtém-se

$x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}+c^{2}t'^{2} = A^{2}\left ( x-Vt \right )^{2} +y^{2} + z^{2} + c^{2}\left ( Bt + Cx \right ) ^{^{2}}= 0$$

Usando um pouco de álgebra, é possível obter uma expressão que evidencia os coeficientes

$A^{2}\left ( x^{2}-2xVt+V^{2}t^{2} \right )+ y^{2}+z^{2}-c^{^{2}}\left ( B^{2}t^{2}+2BCxt+C^{2}x^{2} \right )=0$

Lembrando que $y^{2}+z^{2} = c^{2}t^{2}-x^{2}$ , obtém-se:

$\left ( A^{2}-c^{2}C^{2}-1 \right )x^{2} - 2\left ( A^{2}V+c^{2}BC\right )xt+\left ( A^{2}V^{2}-c^{2}B^{2}+c^{2} \right )t^{2} = 0$

Uma solução possível para qualquer equação é aquela que satizfaz a igualdade. Assim sendo, pode-se escrever um sistema com base nos coeficientes cujos valores satisfaçam as condições da equação.

Então

$A^{2}-c^{2}C^{2}-1 = 0$

$\left ( A^{2}V+c^{2}BC\right ) = 0$

$\left ( A^{2}V^{2}-c^{2}B^{2}+c^{2} \right ) = 0$

São igualdades que satisfazem a equação

$\left ( A^{2}-c^{2}C^{2}-1 \right )x^{2} - 2\left ( A^{2}V+c^{2}BC\right )xt+\left ( A^{2}V^{2}-c^{2}B^{2}+c^{2} \right )t^{2} = 0$

Reorganizando essas condições, pode-se escrevê-las na forma de um sistema linear

$\left\{\begin{matrix} A^{2}-c^{2}C^{2} = 1\\ \ \ \ A^{2}V+c^{2}BC = 0 \\ B^{2} - \frac{V^{2}}{c^{2}}A^{2} = 1 \end{matrix}\right.$

Começando pela segunda equação do sistema, chega-se a

$A^{2} = -\frac{c^{2}}{V}BC$

De posse dessa relação, e substituindo esse valor nas outras duas equações, obtém-se

$\left.\begin{matrix} -c^{2}\frac{C}{V}\left ( B+VC \right ) =1\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ B^{2}+VBC = B\left ( B+VC \right ) = 1 \end{matrix}\right\}$

Que leva ao resultado

$B = -\frac{c^{2}}{V}C$

Multiplicando esse último resultado por $B$ , nos dois lados da equação, obtém-se que

$A^{2} = B^{2}$

Novamente, substituindo na equação

$B^{2} - \frac{V^{2}}{c^{2}}A^{2} = 1$

obtém-se

$A^{2}\left ( 1-\frac{V^{2}}{c^{2}} \right )=1$

Para facilitar a escrita e adotar um padrão para o estudo da relatividade, faze-se necessária a introdução da notação

$\beta \equiv \frac{V}{c}\ \ \ \ \ \ ;\ \ \ \ \ \ \ \gamma \equiv \frac{1}{\sqrt{1-\beta ^{2}}}$

Evoluindo a forma de escrita, ainda pode-se chegar na seguinte relação

$A = \pm B = \pm \gamma$

$C = -\frac{V}{c^{2}}B$

De posse dos coeficientes, e retomando as transformações de Galileu, é possível reescrevê-las na forma transformada.

$x' & = \gamma (x - V t )$

$y' &= y$

$z' &= z$

$t' &= \gamma \left( t - V x /c^2\right)$

Que são as transformações matemáticas responsáveis pela descrição das medidas de comprimento e intervalo de tempo, a partir de dois referenciais inerciais diferentes.

Uma análise simples leva a um resultado bastante interessante. Tem-se $\beta < 1$ para que exista uma solução real para a função $\gamma$ , o que sugere que $c$ é também um valor limite para que isso seja obedecido.

A velocidade da luz é um valor constante medido de qualquer referencial e possui um valor limite, ou seja, nenhum referencial pode se mover com velocidade superior a $c$ , $V>c$ é algo inconcebível.

Pode-se chegar facilmente a um conjunto de transformações escritos de maneira inversa, como que medidos a partir de outro referencial, apenas trocando o sinal que denota o sentido da velocidade. Dessa forma o conjunto de transformações ficará estabelecido da seguinte forma:

$x & = \gamma (x' + V t )$

$y &= y'$

$z &= z'$

$t &= \gamma \left( t' + V x' /c^2\right)$

Conhecida como Transformação de Lorentz especial Inversa.

A Transformação de Galileu também pode ser obtida como caso limite da Transformação de Lorentz. Observe

$\gamma =\left ( 1-\beta^{2} \right )^{-\frac{1}{2}} \approx 1+\frac{1}{2}\beta ^{2}$

Para valores em que a velocidade $V<<c$ , o valor de $\gamma$ reduz-se à 1. Assim as transformações de Lorentz acabam por levar na prática aos mesmos resultados das Transformações de Galileu. Perceba que na condição em que $\beta = \frac{V}{c}$ vale próximo de zero, ou seja, para velocidades extremamente baixas se comparadas à velocidade da Luz, não é possível perceber efeitos relativísticos.

Para um objeto que está inserido num referencial $S'$ na direção do eixo $x$ , as equações do movimento serão escritas na seguinte forma

(1) $\begin{align*} x & = \gamma (x' + v t' ) \\ y &= y' \\ z &= z' \\ t &= \gamma \left( t' + v x' /c^2\right) \end{align*}$

onde

$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$

Essas equações são muito parecidas com as equações de Transformações de Galileu, exceto por dois detalhes:

$\begin{itemize} \item O fator $\gamma$, que depende essencialmente da raz\~ao $v/c$ \item O tempo \'e relativo, ou seja, depende do referencial e se mistura com as coordenadas de posi\c{c}\~ao e vice-versa. \end{itemize}$

No entanto, observamos que se a velocidade $v$ de um referencial em relação a outro for muito menor do que $c$ ( $v \ll c$ ),

$\gamma \to 1 \qquad \textrm{ e } \qquad \frac{v x' }{c^2} \to 0$

de forma que as transformações de Lorentz levam às transformações de Galileu.

Se quisermos escrever as transformações inversas, isso é a partir do referencial $S'$ , podemos obtê-las simplesmente intercambiando as variáveis espaço-temporais e alterando o sinal da velocidade, já que se trata-se de uma velocidade relativa.

Assim, obtemos as equações

(2) $\begin{align*} x' & = \gamma (x-vt) \\ y' &= y \\ z' &= z \\ t' &=\gamma\left(t - vx/c^2\right) \end{align*}$

Consequência das Equações de Lorentz

A Não Simultaneidade dos eventos

Conforme já observamos, nas equações de Lorentz o espaço e o tempo aparecem entrelaçados. Isso traz consequências que desafiam o nosso senso comum

Consequentemente, um mesmo evento observado a partir de dois diferentes referenciais inerciais podem, e geralmente serão, não simultâneos.

Em nossas experiências diárias, tal afirmação ou ocorrência parece impossível e até ilógica. Imagine que você esteja jogando futebol num campo localizado próximo às margens de uma rodovia, e que em determinado momento você chuta a bola em direção ao gol e marca um tento a favor de seu time.

Não existem dúvidas de que você e seus amigos enxergaram o gol acontecendo ao mesmo tempo para todos, ou ainda simultaneamente.
E se ainda um carro estiver passando próximo do campo de futebol, na rodovia, e movendo-se com velocidade constante, e digamos ainda que o passageiro também observe o gol marcado por você, também não restará dúvidas de que no instante de tempo em que a bola entrou no gol, o passageiro do carro, você e os seus colegas de time concordam quanto à simultaneidade do ocorrido.

O que acontece é que em nossas experiências cotidianas, as velocidades envolvidas são extremamente pequenas se comparadas à velocidade da luz. Consequentemente, os efeitos de distorção do espaço-tempo não podem ser observados por nós.

Na relatividade restrita ou especial, chamamos de evento o fenômeno ocorrido no espaço-tempo e que pode ser percebido por um observador.

A definição do dicionário para a palavra evento tem alguns significados que podem ser empregados de acordo com sua utilidade.

No dicionário Michaelis On-line, os significados empregados para a palavras evento podem ser conferidos.

Michaelis On-line – Significado da palavra Evento

O significado que nos interessa é aquele que diz

ASTR Ponto no espaço-tempo de quatro dimensões.

Vimos que os intervalos de tempo medidos por dois observadores contidos em diferentes referenciais não serão necessariamente os mesmos, haja vista o fato de que o movimento relativo altera a dimensão espaço-tempo de maneira nem sempre igual para ambos. Dois eventos serão simultâneos para dois observadores se e somente se ambos estiverem contidos num mesmo referencial.
Isso pode ser constatado pela equação abaixo fazendo o intervalo de tempo medido no referencial S’ ser igual a zero, ou seja simultâneo nesse referencial

$\Delta t = \gamma \left ( \Delta t'+\frac{v\Delta x'}{c^{2}} \right ) \rightarrow\ \Delta t'= 0$

Temos

$\Delta t = \gamma \left ( \frac{v\Delta x'}{c^{2}} \right ) \left ( 2.1 \right )$

A equação (2.1) mostra que se num referencial S’ existe uma separação espacial entre dois eventos, eles não serão simultâneos em outro referencial. Perceba que a equação assume um valor para a diferença temporal diferente de zero no referencial S e independente da simultaneidade do referencial S’.

Imaginemos a seguinte situação:

Uma mulher está parada em uma plataforma ferroviária. Em poucos instantes passará por ela, um homem a bordo de uma composição ferroviária, movendo-se com velocidade próxima à da luz.

Dentro desse vagão, existem duas lâmpadas, uma de cor azul e outra de cor vermelha, ambas podem ser acionadas para que pisquem sincronizadamente.

No exato momento em que o vagão do trem passa pela plataforma, as duas lâmpadas são acionadas de modo que os dois observadores recebem a informação luminosa.

Para a mulher que está na plataforma, no momento em que o trem passa por ela e emite os dois pulsos luminosos, ela os vê acendendo como representado na animação.

Disponível na íntegra em https://youtu.be/KHFEFea70s4

No momento em que o trem passa pela mulher e as luzes acendem, ela está exatamente no meio do caminho entre as duas lâmpadas.

Por estar equidistante das duas fontes de luz, ela conclui que as lâmpadas acenderam simultaneamente, pois as luzes provenientes das lâmpadas, percorreram a mesma distância até ela viajando à mesma velocidade.

Chamaremos o acendimento das luzes de evento. Evento azul, e evento vermelho portanto.

A mulher observa então uma simultaneidade dos eventos. De seu ponto de vista, as duas lâmpadas piscaram ao mesmo tempo.

O que deverá ocorrer no referencial do homem então?

Perceba que em seu referencial, a luz também deve se deslocar com a mesma velocidade, vindo em sua direção pelos dois lados. O homem também está a meio caminho dos postes que emitem os pulsos luminosos.

Existe no entanto, uma diferença na condição dos dois observadores. O homem movimenta-se para a direita em relação à mulher e isso faz com que ele receba primeiro a informação do pulso luminoso de cor azul, isso porque esse pulso percorre uma distância menor até seus olhos, já que enquanto ele viaja para a direita junto com o trem, o pulso de luz azul viaja para a esquerda.

O pulso de cor vermelha no entanto, deve percorrer uma distância maior até seus olhos, pois o homem segue se afastando dele.

Embora as duas fontes de luz viajem juntas do trem, a velocidade de propagação da luz deve ser a mesma quando medida de qualquer referencial, não devendo ser somada ou subtraída. Teríamos a tendência de somar a velocidade do feixe vermelho à velocidade do trem por estarem viajando no mesmo sentido, e o contrário com o feixe azul por estarem em sentidos opostos. Isso está errado.

Os eventos azul e vermelho não são simultâneos no referencial do homem, o evento azul ocorre antes do evento vermelho.

Quem esta correto em sua observação?

A reposta é a de que os dois estão corretos. A única explicação plausível sugere que os eventos não são simultâneos para os dois referenciais. O piscar da luzes só pode ser simultâneo em um referencial.

Disponível na íntegra em https://youtu.be/KHFEFea70s4

Essa é uma consequência da relatividade especial e dos postulados de Einstein. Qualquer informação leva um tempo finito para atingir um observador, e o movimento desse observador pode alterar a ordem na qual recebemos essa informação.

No link a seguir, a subpágina Mudança na Ordem dos Eventos dá acesso a um problema resolvido e comentado, extraído do Livro Fundamentos da Física, 10ª Edição, dos autores Halliday, Resnick e Walker. Nesse problema é discutido a não simultaneidade de dois eventos observados a partir de dois diferentes referenciais.

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