Velocidades relativas em um cruzamento

A bordo de uma super motocicleta, capaz de atingir velocidade altíssimas, dois motociclistas se aproximam de um cruzamento com velocidades relativísiticas.

João pilota sua motocicleta na direção de um eixo x, coincidente com uma das direções do cruzamento.

Maria, com sua motocicleta por sua vez, cruza a trajetória de João numa direção que coincide com a direção do eixo y, de modo que as trajetórias são exatamente perpendiculares.

João e Maria passam pelo cruzamento no centro do qual há um policial que observa o movimento dos dois motociclistas. Dotado de seu radar, ele registra uma velocidade espantosa para João, de (0,750·c) na direção do eixo x e sentido postivo.

Registra também a velocidade de Maria, também muito elevada, de (0,90·c), na direção do eixo y e de sentido negativo.

Com que velocidade João observa Maria se afastando de através de seu retrovisor?

Solução

O problema possui uma relação entre velocidades que não possuem a mesma direção, logo devemos calcular as componentes que formam a velocidade resultante de afastamento entre os dois motociclistas.

Como João é o observador, colocaremos sobre ele o referencial que se move com velocidade em relação ao policial no solo, ou seja João está contido no referencial S’.

Assim, nossa notação ficará da seguinte forma

Para João

$\dpi{300} \fn_cm \LARGE v_{x} =v= 0,750c\ \ v_{y} = 0$

Para Maria

$\dpi{300} \fn_cm \LARGE u_{x} = 0\ \ u_{y}=u=0,90c$

Aplicaremos as transformações de velocidade para obtermos a velocidade medida por João

$\dpi{300} \fn_cm \LARGE u'_{x} = \frac{u_{x}-v}{1-u_{x}\cdot (\frac{v}{c^{2}})} = \frac{0-0,75c}{1-\frac{(0)\cdot (0,75c)}{c^{2}}} = -0,75c$

Essa é a componente da velocidade de afastamento medida por João para na direção x.

Calcularemos agora, a componente da velocidade de afastamento na direção y

$\inline \dpi{300} \fn_cm \LARGE u'_{y} = \frac{u_{y}}{\gamma \left ( 1-\frac{u_{x}\cdot v}{c^{2}} \right )} = \frac{\sqrt{1-\frac{(0,75c)^{2}}{c^{2}}}\left ( -0,90c \right )}{1-\frac{(0)(0,75c)}{c^{2}}} = -0,60c$

Observe que possuímos duas componentes para a velocidade medida por João, uma na direção x e outra na direção y. Observe também que ambas possuem um sinal negativo, pois do ponto de vista de João, a motocicleta de Maria se afasta para valores negativos de seu sistema de eixos. joão “carrega” consigo seu sistema de referencial, nesse caso S’.

Como as velocidades possuem direções perpendiculares entre si, utilizaremos a relação trigonométrica do triângulo de Pitágoras

Fazendo as velocidades u’_xe u’_ycomo os catetos de um triângulo retângulo, calculamos o módulo de u

_Assim

$\dpi{300} \fn_cm \LARGE u'=\sqrt{(u'_{x})^{2} +(u'_{y})^{2}} = \sqrt{{(-0,75c)^{2}+(-0,60c)^{2}}}$